Question

如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，AA′=AB=2
（1）求证：AD⊥B′D；
（2）求三棱锥A′-AB′D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由正三棱柱的结构性质可得侧棱与底面垂直，底面三角形为正三角形，由此可得AD⊥BC，BB′⊥AD，由线面垂直的判定定理可证AD⊥平面BCC′B′，再由线面垂直的性质得AD⊥B′D；
（2）由（1）可证BD⊥平面DAA′，分别求得三棱锥的高与底面面积，代入体积公式计算可得答案．

解答： 解：（1）证明：在正三棱柱ABC-A′B′C′中，底面△ABC为正三角形，
D是BC的中点，∴AD⊥BC，又BB′⊥AD，BC∩BB′=B，
∴AD⊥平面BCC′B′，B′D?平面BCC′B′，
∴AD⊥B′D；
（2）连接A′D，∵BC⊥AD，BC⊥AA′，∴BC⊥平面DAA′，
∴BD为三棱锥A′-AB′D的高，
∵AA′=AB=2，∴BD=1，
△DAA′为直角三角形，AD=

3

，
∴V_A′-AB′D=

1

3

×

1

2

×2×

3

×1=

3

3

．

点评：本题考查了正三棱柱的结构特征，考查了线面垂直的证明与性质，考查了棱锥的体积计算，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理是证明的关键，计算要细心．