Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x₀，y₀）是椭圆C：$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}$=1上的一点，从原点O向圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k₁，k₂，求k₁•k₂的值；
（3）试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圆的半径r，由两直线垂直和相切的性质，可得|OR|=4，解方程可得圆心R的坐标，进而得到圆的方程；
（2）设出直线OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，运用韦达定理，由R在椭圆上，即可得到k₁•k₂的值；
（3）讨论①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值36；②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP²+OQ²=36．

解答 解：（1）由圆R的方程知圆R的半径$r=2\sqrt{2}$，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以$|{OR}|=\sqrt{2}r=4$，即$x_0^2+y_0^2=16$①
又点R在椭圆C上，所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$②
联立①②，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2\sqrt{2}}\\{{y_0}=2\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
所以，所求圆R的方程为${（x-2\sqrt{2}）^2}+{（y-2\sqrt{2}）^2}=8$；
（2）因为直线OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x都与圆R相切，
所以$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=2\sqrt{2}$，$\frac{{|{{k_2}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_2^2}}}=2\sqrt{2}$，
两边平方可得k₁，k₂为（x₀²-8）k²-2x₀y₀k+（y₀²-8）=0的两根，
可得${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，
因为点R（x₀，y₀）在椭圆C上，
所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$，即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$；
（3）方法一①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由（2）知2k₁k₂+1=0，
所以$\frac{{2{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}+1=0$，故$y_1^2y_2^2=\frac{1}{4}x_1^2x_2^2$．
因为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在椭圆C上，
所以$\frac{x_1^2}{24}+\frac{y_1^2}{12}=1，\frac{x_2^2}{24}+\frac{y_2^2}{12}=1$，
即$y_1^2=12-\frac{1}{2}x_1^2，y_2^2=12-\frac{1}{2}x_2^2$，
所以$（12-\frac{1}{2}x_1^2）（12-\frac{1}{2}x_2^2）=\frac{1}{4}x_1^2x_2^2$，
整理得$x_1^2+x_2^2=24$，
所以$y_1^2+y_2^2=（12-\frac{1}{2}x_1^2）+（12-\frac{1}{2}x_2^2）=12$
所以$O{P^2}+O{Q^2}=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=（x_1^2+x_2^2）+（y_1^2+y_2^2）=36$．
方法（二）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}=1}\end{array}}\right.$，
解得$x_1^2=\frac{24}{1+2k_1^2}，y_1^2=\frac{24k_1^2}{1+2k_1^2}$，
所以$x_1^2+y_1^2=\frac{24（1+k_1^2）}{1+2k_1^2}$，
同理，得$x_2^2+y_2^2=\frac{24（1+k_2^2）}{1+2k_2^2}$．
由（2）2k₁k₂+1=0，得${k_1}{k_2}=-\frac{1}{2}$，
所以$O{P^2}+O{Q^2}=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=\frac{24（1+k_1^2）}{1+2k_1^2}+\frac{24（1+k_2^2）}{1+2k_2^2}$
=$\frac{24（1+k_1^2）}{1+2k_1^2}+\frac{{24[{1+{{（-\frac{1}{{2{k_1}}}）}^2}}]}}{{1+2{{（-\frac{1}{{2{k_1}}}）}^2}}}=\frac{36+72k_1^2}{1+2k_1^2}=36$，
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP²+OQ²=36．
综上：OP²+OQ²=36．

点评 本题考查椭圆方程的运用，以及直线和圆的位置关系：相切，考查点到直线的距离公式和直线方程的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．