Question

14．已知f（x）=ax²+bx+c，a，b，c∈R，定义域为[-1，1]，
（Ⅰ）当a=1，|f（x）|≤1时，求证：|1+c|≤1；
（Ⅱ）当b＞2a＞0时，是否存在x∈[-1，1]，使得|f（x）|≥b？

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²+bx+c，结合|f（x）|≤1及绝对值三角不等式可证得：|1+c|≤1；
（Ⅱ）当b＞2a＞0时，$-\frac{b}{2a}＜-1$，则f（x）在[-1，1]上递增且b＞0，分类讨论满足|f（x）|≥b的x值，综合讨论结果可得答案．

解答 证明：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²+bx+c，
∵|f（x）|≤1
∴|f（-1）|=|1-b+c|≤1，|f（1）|=|1+b+c|≤1，
∵|1-b+c+1+b+c|≤|1-b+c|+|1+b+c|≤2，
∴|2+2c|≤2
∴|1+c|≤1…（6分）
解：（Ⅱ）∵b＞2a＞0，
∴$-\frac{b}{2a}＜-1$，则f（x）在[-1，1]上递增且b＞0
∴f（x）∈[a-b+c，a+b+c]…（9分）
①当a+c＞0时，a+b+c＞b＞0…（11分）
此时有|f（1）|≥b即存在x=1，使得|f（x）|≥b成立
②当a+c＜0时，a-b+c＜-b＜0…（13分）
此时有|f（-1）|≥b即存在x=-1使得|f（x）|≥b成立
③当a+c=0时，f（x）∈[-b，b]，存在x使得|f（x）|≥b成立
∴存在x=±1使得|f（x）|≥b成立…（15分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．