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    （理） 在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为(
    		5
    ，0)    ，
    e1
    =(2，1)    、
    e2
    =(2，-1)    分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线C上的点P，其中
    op
    =m
    e1
    +n
    e2
    （m，n∈R），则m，n满足的一个等式是
    4mn=1
    4mn=1
    ．
    分析：根据
    e1
    =(2，1)    、
    e2
    =(2，-1)    是渐进线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程，根据一个焦点坐标(
    		5
    ，0)    ，进而求得a和b，求得双曲线方程，进而根据
    op
    =m
    e1
    +n
    e2
    ，P在双曲线上，化简即可．
    解答：解：因为c=
    		5
    ，所以
    e1
    =(2，1)    、
    e2
    =(2，-1)    是渐进线方向向量，
    所以双曲线渐近线方程为y=±
    1
    2
    x    ，
    又c=
    		5
    ，a=2，b=1双曲线方程为
    x2
    4
    -
    y2
    1
    =1    ，
    op
    =m
    e1
    +n
    e2
    =（2m+2n，m-n），
    点P是双曲线C上的点，
    所以
    (2m+n)2
    4
    -(m-n)2=1    ，化简得4mn=1．
    故答案为：4mn=1．
    点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了向量的综合应用，学生分析问题和解决问题的能力．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•杨浦区二模）（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
    （1）已知曲线C1的方程为
    x2
    9
    -
    y2
    4
    =1    ，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
    （2）射线l的方程y=
    		2
    2
    x(x≥0)    ，如果椭圆C1：
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1    经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且|AB|=
    		2
    ，求椭圆C2的方程；
    （3）对抛物线C1：y2=2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2=2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2=2p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny），得抛物线Cn+1：y2=2pn+1x，…．若p1=1 ， λn=(
    1
    2
    )n    ，求数列{pn}的通项公式pn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）在平面直角坐标系xOy中，向量
    j
    =(0，1)    ，△OFQ的面积为2
    		3
    ，且
    OF
    •
    FQ
    =m    ，
    OM
    =
    		3
    3
    OQ
    +
    j
    ．
    （Ⅰ）设4＜m＜4
    		3
    ，求向量
    OF
    与
    FQ
    的夹角的取值范围；
    （II）设以O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|
    OF
    |=c，m=(
    		3
    -1)c2    ．是否存在点Q，使|
    OQ
    |    最短？若存在，求出此时椭圆的方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （06年上海卷理）（14分）

    在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

    （1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

    （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2008年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    （理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
    （1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
    （2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；
    （3）对抛物线C1：y2=2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2=2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2=2p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny），得抛物线Cn+1：y2=2pn+1x，…．若，求数列{pn}的通项公式pn．

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