Question

（理） 在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为(

5

，0)，

e1

=(2，1)、

e2

=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线C上的点P，其中

op

=m

e1

+n

e2

（m，n∈R），则m，n满足的一个等式是

4mn=1

．

Answer 1

分析：根据

e1

=(2，1)、

e2

=(2，-1)是渐进线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程，根据一个焦点坐标(

5

，0)，进而求得a和b，求得双曲线方程，进而根据

op

=m

e1

+n

e2

，P在双曲线上，化简即可．

解答：解：因为c=

5

，所以

e1

=(2，1)、

e2

=(2，-1)是渐进线方向向量，
所以双曲线渐近线方程为y=±

1

2

x，
又c=

5

，a=2，b=1双曲线方程为

x2

4

-

y2

1

=1，

op

=m

e1

+n

e2

=（2m+2n，m-n），
点P是双曲线C上的点，
所以

(2m+n)2

4

-(m-n)2=1，化简得4mn=1．
故答案为：4mn=1．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了向量的综合应用，学生分析问题和解决问题的能力．