Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当时，证明：函数只有一个零点；

（3）若函数的极大值等于，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）求得函数在处的导数，由此求得切线方程.

（2）通过求的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数的单调区间，由此证得函数只有一个零点.

（3）当时根据（2）的结论证得结论成立.当，根据的二阶导数，对分成三种情况，利用的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数的取值范围.

（1）当时，，，，，所以在处的切线方程为.

（2），令，

当时，，在上单调递减，又，

所以当时，，单调递增，当时，，单调递减

所以，所以只有一个零点.

（3）①当时，由（2）知，的极大值为，符合题意；

②当时，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，注意到，

（ⅰ）当时，，又.

所以存在，使得，当时， ，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，符合题意；

（ⅱ）当时，恒成立，在上单调递减，无极值，不合题意；

（ⅲ）当时，，又，令

，在上单调递减，

所以，所以，

存在，使得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，且，不合题意.

综上可知，的取值范围是.