Question

【题目】已知函数，．

（1）求函数的极小值；

（2）设函数，讨论函数在上的零点的个数；

（3）若存在实数，使得对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析；（3）4.

【解析】

(1)求导后,利用导数可求得极小值;

(2)转化为讨论在上的解的个数,再利用导数可解决;

(3) 转化为对任意的，不等式恒成立后,构造函数利用导数可解得,

（1），.

则，

令，得；令，得或（或列表求）

∴函数在单调减，在单调增，在上单调减，

∴函数在处取得极小值；

（2），

∵，∴，

设，则，令，则.

∴在上单调减，在上单调增，且，，，.

∴当或时，有1解，

即在上的零点的个数为1个；

当时，有2解，即在上的零点的个数为2个；

当时，有0解，即在上的零点的个数为0个．

（3）∵，存在实数，使对任意的，不等式恒成立，∴存在实数，使对任意的，不等式恒成立.

∵，∴对任意的，不等式恒成立.

即对任意的，不等式恒成立．

设，，

∴，可求得在上单调增，在上单调减，在上单调增，

则在上单调减，在上单调增，

当时，在上递减,所以恒成立；

当时，在上递减,在上递增,所以，因为， ，而；所以在上不恒成立,

∴正整数的最大值为4．