Question

【题目】已知.

（I）若，判断函数在的单调性；

（II）设，对，有恒成立，求的最小值；

（III）证明：.

Answer 1

【答案】（I）在单调递增；（II）2；（III）证明见解析.

【解析】

（1），函数，

．．根据，可得，而．即可得出单调性．

（2）由题意知，，对，，有恒成立．，设，由，可得时，单调递增，又，，因此在内存在唯一零点，使，即，利用其单调性可得：，故，设，．利用导数研究其单调性即可得出所求的最小值．

（3）由可知时，（1），即：．设，可得，可得，求和利用对数的运算性质即可得出．

解：（1），函数，．

．

又，，而．

，

故在上单调递增．

（2）由题意知，，对，，有恒成立．

，

设，则，

由于，故，

时，单调递增，又，，

因此在内存在唯一零点，使，即，

且当，，，单调递减；

，，，，单调递增．

故，

故，

设，．

，

又设，，

故在上单调递增，因此，即，在上单调递增，

，，又，，

故所求的最小值为2．

（3）由（1）可知时，，即：

设，则

因此

即

,

得证．