Question

【题目】已知函数，是实数.

(1)若函数是定义在上的奇函数，求的值，并求方程的解；

(2)若对任意的恒成立，求的取值范围；

(3)若，方程有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；

（2）；

（3）或；

【解析】

（1）可根据奇函数性质，也可根据特殊点求，再进行验证即可；令结合一元二次方程的解法即可求解；

（2）可采用分离常数法得对任意的恒成立，令，，令，则，结合二次函数性质即可求解；

（3）时，，化简得，采用构造函数法，令，转化为方程在上有解，再结合二次函数对称轴与增减性进一步求解即可

(1)方法一：因为函数是定义在上的奇函数，

所以对任意恒成立，

即对任意恒成立，

整理得对任意恒成立，

所以.

方法二：因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得

检验：当时，，

此时，

所以

此时.

因为，即，整理得

解得或 (舍).

所以.

(2)因为对任意的恒成立，

所以，即对任意的恒成立.

令，则，

令，所以

在上单调递增，

所以

所以，所以.

(3)当时，，因为，

所以.

令，则，

转化为方程在上有解.

令，

①当时，在为增函数

所以，得.

②当时，需，

即，解得，

所以或.