Question

【题目】如图，底面为正方形的四棱锥中，平面，为棱上一动点，.

（1）当为中点时，求证：平面；

（2）当平面时，求的值；

（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）连接AC,BD设其交点为O,连接OE,证明OE∥PA，即可证明

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，由线面垂直求解

（1）连接AC,BD设其交点为O,连接OE,则为中点，故OE∥PA

又平面，OE平面，故平面；

（2）以O为原点，OA，OB分别为x，y轴，过O做的平行线为轴，建立如图所示空间坐标系，如图示：

设AB=2，则，B（0，，0），D（0，-，0），，
设，，
平面，所以，则，故；

（3）因为平面，所以AE是平面的一个法向量，

故取平面的一个法向量为，平面的法向量为
设二面角为θ，
则，由图知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为