【题目】已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点
处的切线方程;
(II)设函数,z.x.x.k讨论
的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析。
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义,求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程;(Ⅱ)由,通过讨论确定
的单调性,再由单调性确定极值.
试题解析:(Ⅰ)由题意,
所以,当时,
,
,
所以,
因此,曲线在点
处的切线方程是
,
即.
(Ⅱ)因为,
所以,
,
令,
则,
所以在
上单调递增,
因为,
所以,当时,
;当
时,
.
(1)当时,
,
当时,
,
,
单调递增;
当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增.
所以当时
取到极大值,极大值是
,
当时
取到极小值,极小值是
.
(2)当时,
,
当时,
,
单调递增;
所以在
上单调递增,
无极大值也无极小值.
(3)当时,
,
当时,
,
,
单调递增;
当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增.
所以当时
取到极大值,极大值是
;
当时
取到极小值,极小值是
.
综上所述:
当时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是
,极小值是
;
当时,函数
在
上单调递增,无极值;
当时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是
,极小值是
.
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【题目】从某企业生成的产品生产线上随机抽取件产品,测量这批产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图:
(1)估计这批产品质量指标值的样本平均和样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值做代表):
(2)若该种产品的等级及相应等级产品的利润(每件)参照以下规则(其中为产品质量指标值):当
该产品定为一等品,企业可获利
元;当
且
该产品定为二等品,企业可获利
元:当
且
.该产品定为三等品,企业将损失
元;否则该产品定为不合格品,企业将损失
元
(i)若测得一箱产品(件)的质量指标数据分别为:
,求该箱产品的利润;
(ii)设事件;事件
事件
根据经验,对于该生产线上的产品,事件
发生的概率分别为
,根据以上信息,若产品预计年产量为
件,试估计设产品年获利情况(参考数据:
)
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【题目】新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路!国家对其给予政策上的扶持,己成为我国的战略方针.近年来,我国新能源汽车制造蓬勃发展,某著名车企自主创新,研发了一款新能源汽车,经过大数据分析获得:在某种路面上,该品牌汽车的刹车距离(米)与其车速
(千米/小时)满足下列关系:
(
,
是常数).(行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离).如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离
(米)与该车的车速
(千米/小时)的关系图.该新能源汽车销售公司为满足市场需求,国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车,在甲地的销售利润(单位:万元)为
,在乙地的销售利润(单位:万元)为
,其中
为销售量(单位:辆).
(1)若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车,则能获得的最大利润是多少?
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求该品牌新能源汽车行驶的最大速度.
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【题目】如图,底面为正方形的四棱锥中,
平面
,
为棱
上一动点,
.
(1)当为
中点时,求证:
平面
;
(2)当平面
时,求
的值;
(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.
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【题目】已知圆:
经过椭圆
:
的左右焦点
,且与椭圆
在第一象限的交点为
,且
三点共线,直线
交椭圆
于
,
两点,且
(
).
(1)求椭圆的方程;
(2)当三角形的面积取得最大值时,求直线
的方程.
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【题目】如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是线段PC的中点.
(1)求异面直线AP与BE所成角的大小;
(2)若点F在线段PB上,使得二面角F-DE-B的正弦值为,求
的值.
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【题目】设函数的定义城为D,若满足条件:存在
,使
在
上的值城为
(
且
),则称
为“k倍函数”,给出下列结论:①
是“1倍函数”;②
是“2倍函数”:③
是“3倍函数”.其中正确的是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【题目】设是椭圆
上的点,
,
是焦点,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,
是椭圆上的两点,且
,(
是定数),问线段
的垂直平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不存在,说明理由.
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