Question

【题目】设是椭圆上的点，，是焦点，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆上的两点，且，（是定数），问线段的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析

【解析】

（1）由椭圆的离心率可得出，可将椭圆方程化为，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，可得出椭圆的标准方程；

（2）分和两种情况讨论，在时，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，在直线的斜率存在的情况下，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得出，并求出线段的垂直平分线方程，可求出线段的垂直平分线所过定点坐标，在直线垂直于轴时，检验定点是否在线段的垂直平分线轴上；在时，直接根据对称性得出结论.

（1）由于椭圆的离心率为，，

所以，椭圆的标准方程为，

将点的坐标代入椭圆的标准方程得，得，

因此，椭圆的方程为；

（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则.

将直线的方程与椭圆方程联立，得.

由韦达定理可得，①，

所以，，则线段的中点坐标为.

则线段的垂直平分线方程为，即，

即，此时，线段的垂直平分线过定点；

若直线垂直于轴，则点、两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点；

当时，若直线关于坐标轴对称，则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；

若直线、关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点.

综上所述，线段的垂直平分线过定点.