【题目】如图,在四棱锥中,平面
底面
,其中底面
为等腰梯形,
,
,
,
,
为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取中点
,连结
,推导出
为平行四边形,从而
,由此能证明
平面
.
(2)取中点
,连结
,取
的中点
,连结
,推导出
,
,从而
平面
,以
为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角
的余弦值.
解:(1)取中点
,连结
,
.
∵,
是
,
的中点,
∴,且
.
∵,
,
∴,
∴,
∴,又
,
∴,
∴为平行四边形,
∴.
又平面
,且
平面
,
∴平面
;
(2)取中点
,连接
,取
的中点
,连接
,
.设
,
由(1)得,
∴为等边三角形,
∴,同理∴
,
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
,
∴平面
.
以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,则
,∴
,
取,得
,
又平面的法向量
,
∴,
由图得二面角的平面角为钝角,
所以,二面角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2014年12月19日,2014年中国数学奥林匹克竞赛(第30届全国中学生数学冬令营)在重庆市巴蜀中学举行.参加本届中国数学奥林匹克竞赛共有来自各省、市(自治区、直辖市)、香港地区、澳门地区,以及俄罗斯、新加坡等国的30余支代表队,共317名选手.竞赛为期2天,每天3道题,限时4个半小时完成.部分优胜者将参加为国际数学奥林匹克竞赛而组建的中国国家集训队.中国数学奥林匹克竞赛(全国中学生数学冬令营)是在全国高中数学联赛基础上进行的一次较高层次的数学竞赛,该项活动也是中国中学生级别最高、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛.2020年第29届全国中学生生物学竞赛也将在重庆巴蜀中学举行.巴蜀中学校本选修课“数学建模”兴趣小组调查了2019年参加全国生物竞赛的200名学生(其中男生、女生各100人)的成绩,得到这200名学生成绩的中位数为78.这200名学生成绩均在50与110之间,且成绩在内的人数为30,这200名学生成绩的高于平均数的男生有62名,女生有38名.并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图.
(1)求,
的值;
(2)填写下表,能否有的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系?
男生 | 女生 | 总计 | |
成绩不高于平均数 | |||
成绩高于平均数 | |||
总计 |
参考公式及数据:,其中
.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且此抛物线的准线被椭圆
截得的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线交椭圆
于
、
两点,线段
的中点为
,直线
是线段
的垂直平分线,试问直线
是否过定点?若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是椭圆
上的点,
,
是焦点,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,
是椭圆上的两点,且
,(
是定数),问线段
的垂直平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况,在该校随机抽取了60名学生(其中男、女生人数之比为2:1)进行问卷调查.进行统计后将这60名学生按男、女分为两组,再将每组学生每天使用手机的时间(单位:分钟)分为5组,得到如图所示的频率分布直方图(所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟).
(1)求出女生组频率分布直方图中的值;
(2)求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数.
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