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    【题目】2014年12月19日，2014年中国数学奥林匹克竞赛（第30届全国中学生数学冬令营）在重庆市巴蜀中学举行.参加本届中国数学奥林匹克竞赛共有来自各省、市（自治区、直辖市）、香港地区、澳门地区，以及俄罗斯、新加坡等国的30余支代表队，共317名选手.竞赛为期2天，每天3道题，限时4个半小时完成.部分优胜者将参加为国际数学奥林匹克竞赛而组建的中国国家集训队.中国数学奥林匹克竞赛（全国中学生数学冬令营）是在全国高中数学联赛基础上进行的一次较高层次的数学竞赛，该项活动也是中国中学生级别最高、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛.2020年第29届全国中学生生物学竞赛也将在重庆巴蜀中学举行.巴蜀中学校本选修课“数学建模”兴趣小组调查了2019年参加全国生物竞赛的200名学生（其中男生、女生各100人）的成绩，得到这200名学生成绩的中位数为78.这200名学生成绩均在50与110之间，且成绩在内的人数为30，这200名学生成绩的高于平均数的男生有62名，女生有38名.并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图.

    （1）求，的值；

    （2）填写下表,能否有的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系？

    男生

    女生

    总计

    成绩不高于平均数

    成绩高于平均数

    总计

    参考公式及数据：，其中.

    0.05

    0.01

    0.005

    0.001

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

    【答案】（1），（2）列联表见解析,有的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系.

    【解析】

    （1）表示出成绩在内的频率，根据各组频率之和为，以及中位数为，得到关于的方程组，解出的值；（2）根据题意，写出成绩不高于平均数的男、女生数量，填写好列联表，然后根据公式求出的值，进行判断，得到答案.

    解：（1）∵成绩在内的人数为30，

    ∴成绩在内的频率为.

    由频率分布直方图得，化简得，①

    由中位数可得，化简得，②

    由①②解得，.

    （2）200名学生成绩的高于平均数的男生有62名，女生有38名，

    因男、女生各100名，所以可得成绩不高于平均数的男生有38名，女生有62名，

    根据题意得到列联表：

    男生

    女生

    总计

    成绩不高于平均数

    38

    62

    100

    成绩高于平均数

    62

    38

    100

    总计

    100

    100

    200

    ，

    ∴有的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系.

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    【题目】如图，在几何体中，为正三角形，，平面，若是棱的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

    A.B.

    C.D.

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    （1）若英语等级考试成绩有一次为优，即可达到某211院校的录取要求.假设某个学生参加每次等级考试事件是独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是，求该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率；

    （2）据预测，要想报考该211院校的相关院系，省会考的成绩至少在90分以上，才有可能被该校录取.假设该生在省会考六科的成绩，考到90分以上概率都是，设该生在省会考时考到90分以上的科目数为，求的分布列及数学期望.

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    【题目】如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，，且，.设.

    （1）当时，求异面直线与所成角的大小；

    （2）当平面平面时，求的值.

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    【题目】将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,则下列说法正确的是（ ）

    A.的图象关于直线对称

    B.在上的值域为

    C.的图象关于点对称

    D.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

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    【题目】关于函数有下述四个结论：

    ①是偶函数；②的最大值为；

    ③在有个零点；④在区间单调递增.

    其中所有正确结论的编号是（ ）

    A.①②B.①③C.②④D.①④

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    【题目】如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，，，，为的中点.

    （1）证明：平面；

    （2）求二面角的余弦值.

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    年份

    年宣传费（万元）

    年销售量（吨）

    经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式（）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：

    （1）根据所给数据，求关于的回归方程；

    （2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？

    附：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

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    【题目】已知函数，.

    （1）当时，试讨论的单调性；

    （2）若对任意的，方程恒有个不等的实根，求的取值范围.

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