【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且此抛物线的准线被椭圆
截得的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线交椭圆
于
、
两点,线段
的中点为
,直线
是线段
的垂直平分线,试问直线
是否过定点?若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线
过定点
,详见解析.
【解析】
(1)由题意得出,由题意知点
在椭圆
上,由此得出关于
、
的方程组,求出
、
的值,即可得出椭圆
的标准方程;
(2)解法一:由题意可知,直线的斜率不为零,然后分直线
的斜率存在且不为零和直线
的斜率不存在两种情况讨论,在第一种情况下,设直线
的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,由
得出
,并写出直线
的方程,由此可得出直线
所过定点的坐标;在第二种情况下可得出直线
为
轴,即可得出直线
过定点
,由此得出结论;
解法二:由题意可知,直线的斜率不为零,然后分直线
的斜率存在且不为零和直线
的斜率不存在两种情况讨论,在第一种情况下,由点差法可得出直线
的斜率为
,可写出直线
的方程,即可得出直线
所过定点的坐标;在第二种情况下可得出直线
为
轴,即可得出直线
过定点
,由此得出结论.
(1)抛物线的焦点为
,准线为
.
由于抛物线的准线
截椭圆
所得弦长为
,
则点在椭圆
上,则有
,解得
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(2)法一:显然点在椭圆
内部,故
,且直线
的斜率不为
.
当直线的斜率存在且不为
时,易知
,设直线
的方程为
,
代入椭圆方程并化简得:.
设,
,则
,解得
.
因为直线是线段
的垂直平分线,
故直线的方程为
,即
,即
.
令,此时
,
,于是直线
过定点
;
当直线的斜率不存在时,易知
,此时直线
,故直线
过定点
.
综上所述,直线过定点
;
法二:显然点在椭圆
内部,故
,且直线
的斜率不为
.
当直线的斜率存在且不为
时,设
,
,
则有,
,
两式相减得,
由线段的中点为
,则
,
,
故直线的斜率
,
因为直线是线段
的垂直平分线,
故直线的方程为
,即
,即
.
令,此时
,
,于是直线
过定点
;
当直线的斜率不存在时,易知
,此时直线
,故直线
过定点
综上所述,直线过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,动点
(其中
)到点
的距离的
倍与点
到直线
的距离的
倍之和记为
,且
.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与轨迹
交于
两点,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年10月1日,在庆祝新中国成立70周年阅兵中,由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门,壮军威,振民心,令世人瞩目.飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西
的方向上,1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东
的方向上,仰角为
,则直升机飞行的高度为________千米.(结果保留根号)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的
倍(纵坐标不变),得到
的图象,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于直线
对称
B.在
上的值域为
C.的图象关于点
对称
D.的图象可由
的图象向右平移
个单位长度得到
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的方程为
,椭圆
的离心率正好是双曲线
的离心率的倒数,椭圆
的短轴长等于抛物线
上一点
到抛物线焦点
的距离.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
的两个交点为
,
两点,已知圆
:
与
轴的交点分别为
,
(点
在
轴的正半轴),且直线
与圆
相切,求
的面积与
的面积乘积的最大值.
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