Question

【题目】在直角坐标系中，动点（其中）到点的距离的倍与点到直线的距离的倍之和记为，且.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与轨迹交于两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根据题意列出方程，化简即可求得；

（Ⅱ）分析可知，曲线只包括部分图像，分两种具体情况讨论：当斜率不存在时和斜率存在时，先确定弦长对应斜率的范围，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理表示出根与系数关系，利用焦半径公式表示出，，结合前式韦达定理表示出关于的表达式，利用不等式性质即可求解

（Ⅰ）依题意，，

化简得，

点的轨迹的方程为（）．

（Ⅱ）将代入曲线方程，解得，设点，．

由（Ⅰ）知，轨迹是椭圆在直线的右侧的部分（包括点）．

可求出直线的斜率为，直线的斜率为.

（1）当直线的斜率不存在时，设，，

此时，.

（2）当直线的斜率存在时，直线的方程为.

由已知，直线与轨迹交于两点，

则或.

设，，

由（Ⅰ）知，，，

所以

由，得.

则，

所以

因为或，

所以，

所以，

所以，即.

综上可知，．