Question

【题目】已知椭圆的方程为，椭圆的离心率正好是双曲线的离心率的倒数，椭圆的短轴长等于抛物线上一点到抛物线焦点的距离.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆的两个交点为，两点，已知圆：与轴的交点分别为，（点在轴的正半轴），且直线与圆相切，求的面积与的面积乘积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）12

【解析】

（1）根据题意分别写出椭圆的离心率，短轴长，从而得到关于的方程组，解出的值，得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切，得到的关系，分别表示出点、到直线的距离，直线与椭圆联立，得到，，从而表示出，然后表示出，代入的关系，利用基本不等式，求出最大值.

解：（1）双曲线的离心率为

所以椭圆的离心率，

抛物线的准线为，

所以抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，

所以椭圆的短轴长为，则

设椭圆的焦距为，

所以得到，，解得，

因此，椭圆的方程为.

（2）由题意知，直线的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线的方程为，

设点，，

由于直线与圆相切，则有，所以.

点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去并整理得.

由韦达定理可得，.

记的面积为，记的面积为，

由弦长公式可得

.

所以，

.

当且仅当时，即当时，等号成立.

因此，的最大值为12.