Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且交于点，是上任意一点.

（1）求证；

（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用线面垂直的性质得，利用菱形的性质得，利用线面垂直的判定定理得平面，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到；

（2）分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，用坐标表示点，求得平面的法向量为，平面的法向量为，根据二面角的余弦值为，可求出，从而得到点的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得与平面所成角的正弦值.

（1）∵平面，∴

又∵四边形为菱形，∴

又，∴平面

平面，∴

（2）连，在中，，∴平面

分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

设，则，，

，，.

由（1）知，平面的一个法向量为

设平面 的一个法向量为，则由

即，令，则

因二面角的余弦值为，

∴，∴

设与平面所成角为，∵，，

∴.