Question

【题目】已知奇函数f（x）＝a（a为常数）．

（1）求a的值；

（2）若函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点，求实数k的取值范围；

（3）若x∈[﹣2，﹣1]时，不等式f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）k∈（0，1）；（3）[4，+∞）.

【解析】

（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）＝0，解方程可得a；

（2）由题意可得方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；

（3）由题意可得m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，即可得到所求范围．

（1）f（x）是定义在R上的奇函数，

可得f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，

可得f（x）＝1，

由f（﹣x）+f（x）0，

即f（x）为R上的奇函数，

故a＝1；

（2）函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点

方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，

即k＝|2x﹣1|有2个解，

即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，

由图象得k∈（0，1）；

（3）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x），即1，

即m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，

由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，

x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）的最大值为g（﹣2）＝4，

则m≥4，即m的取值范围是[4，+∞）．