Question

【题目】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为，所有项的和记为．

（1）求，，；

（2）若，求n的最小值；

（3）是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）10；（3）存在，且.

【解析】

（1）根据原有的项数，确定每次拓展增加的项数，由此求得的值.

（2）根据拓展的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值.

（3）根据拓展的方法，确定和的递推关系式，通过假设成等比数列，得到且，此时，即数列为等比数列.

（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数；

经第2次拓展后的项数；

经第3次拓展后的项数.

（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，

所以，

所以，

由（1）知，所以，∴，

由，即，解得，

所以的最小值为10．

（3）设第次拓展后数列的各项为，

所以，

因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，

所以，

即，所以，

得，，，

因为数列为等比数列，所以，可得，

则，由得，

反之，当且时，，，，所以数列为等比数列，

综上，满足的条件为且.