Question

【题目】若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数．

（）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论．

（）证明： ， ，函数都是等比源函数．

Answer 1

【答案】（）①②③均为等比源函数．（）函数不是等比源函数（）见解析

【解析】试题分析：（1）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；（2）利用反证法思想，假设存在正整数， ， ，且，是， ， 成等比数列，推出矛盾，从而证明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（3）首先证明数列{g（n）}为等差数列，然后验证g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]构成等比数列，从而说明结论的正确性．

试题解析：

（）①当取， ， 时， 得， ， 构成等比数列，∴是等比源函数．

②当取， ， 时， 得， ， 构成等比数列，∴是等比源函数．

③当取， ， 时， 得， ， 构成等比数列，∴是等比源函数．

综上①②③均为等比源函数．

（）函数不是等比源函数，

证明如下：

假设存在正整数， ， ，且，是， ， 成等比数列，∴，

，∴，等式两边同除以，

∴，又∵， ，

∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴不可能成立，

故假设不成立，

∴不是等比源函数．

（）证明：∵， ，都有，

∴， ，数列都是以为首项，公差为的等差数列，

， ， ， ， 成等比数列，

∴，

，

，

∴， ， ，

∴， ，函数都是等比源函数．