Question

【题目】函数， （是自然对数的底数， ）．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）已知表示不超过的最大整数，如， ，若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）首先得出，求出导函数，由确定增区间， 确定减区间，从而确定出的最小值为，而，由此不等式得证；

（Ⅱ）此问题首先进行转化，当时， 的最小值为，当时， 的最小值为，依题意有，而由（Ⅰ）知＝0，因此有，下面就是求出的最小值，即可得出的范围，为此可求的导数.为了确定的正负，令，再求导，

而当时， ， ， 在上是增函数，所以.下面对按正负分类讨论：

A①， 在上是增函数，最小值为；②，即时，因为在上是增函数，且，因此在上有一个零点，记为，

，即，这样有当时， ，即；当时， ，即，所以， 在上是减函数，在上是增函数，所以，又，所以，所以，所以．由，可令，由此求出的范围，即此时的范围，综合以上两点可得．

试题解析：

（Ⅰ）（）.

当时， ，当时， ，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时， 取得最小值，最小值为，

所以，

又，且当时等号成立，

所以， .

（Ⅱ）记当时， 的最小值为，当时， 的最小值为，

依题意有，

由（Ⅰ）知，所以，则有，

.

令， ，

而当时， ，所以，

所以在上是增函数，所以.

①当，即时， 恒成立，即，

所以在上是增函数，所以，

依题意有，解得，

所以．

②当，即时，因为在上是增函数，且，

若，即，则，

所以，使得，即，

且当时， ，即；当时， ，即，

所以， 在上是减函数，在上是增函数，

所以，

又，所以，

所以，所以．

由，可令，

，当时， ，所以在上是增函数，

所以当时， ，即，

所以．

综上，所求实数的取值范围是．