Question

【题目】在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC、CD上的点，且满足 = =λ．

（1）当λ= 时，求向量 和 夹角的余弦值；
（2）求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解法一：当 时 ，

BC，CD ）

设向量 和 夹角为θ

则 ）

解法二：以A为原点，分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系xAy，如图所示：

则A（0，0），B（2，0），D（0，1）

时， ，

， ，

设向量 和 夹角为θ，则

（2）解法一：当 时，因为M，N分别是边上，所以0≤λ≤1．

， ，

，

）

因为0≤λ≤1

所以 的取值范围是[0，5]．

解法二：当 时，因为 M，N分别是边BC，CD上．所以0≤λ≤1

，

，

因为0≤λ≤1，所以 的取值范围是[0，5]

【解析】（1）法1：根据向量数量积的公式直接进行求解即．法2：建立坐标系，求出向量坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解．（2）法1：利用三点关系，建立数乘向量关系，结合向量数量积的定义进行求解．法2：利用坐标系，求出向量坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解．