Question

11．四边形ABCD满足：|AB|²-|BC|²+|CD|²-|DA|²=1，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设AC与BD相交于O，把已知等式化为含向量$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}、\overrightarrow{OD}$的式子，得到$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}$，同样把$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$化为含向量$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}、\overrightarrow{OD}$
的式子得答案．

解答 解：如图：

设AC与BD相交于O，
则：|AB|²-|BC|²+|CD|²-|DA|²=$（\overrightarrow{AB}）^{2}+（\overrightarrow{CD}）^{2}-（\overrightarrow{BC}）^{2}-（\overrightarrow{DA}）^{2}$
=$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）^{2}+（\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}）^{2}-（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）^{2}-（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}）^{2}$
=$2（\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OC}）$=1，
即$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}$=$-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加减法法则，是中档题．