Question

3．设有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…．
（1）问10是该数列的第几项到第几项？
（2）求第100项；
（3）求前100项的和．

Answer 1

分析 （1）通过观察数列可知其特点是1有1个、2有2个、3有3个、…、n有n个，进而可知则第1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$项为n，通过令n=10、计算即得结论；
（2）通过（1）令$\frac{n（n+1）}{2}$＜100可知最后一个13是数列的第91项，进而可得结论；
（3）通过（2）可知该数列前100项包含1个1、2个2、…、13个13、9个14，进而计算可得结论．

解答 解：（1）数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，的特点是1有1个，2有2个，3有3个，…，n有n个，
则第1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$项为n，
令n=10，可知第$\frac{10×（10+1）}{2}$=55项为10，
依题意，55项的前9项都为10，
故10是该数列的第46项到第55项；
（2）由（1）令$\frac{n（n+1）}{2}$＜100，
可知n的最大整数值为13，即最后一个13是数列的第91项，
而14共有14项，所以第100项应为14；
（3）由（2）可知该数列前100项包含：1个1、2个2、…、13个13、9个14，
故所求值为：1+2²+…+13²+14×9=945．

点评 本题考查数列的通项及求和，找出规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．