Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N^*且λ≠-1），且a₁，2a₂，a₃+3为等差数列{b_n}的前3项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=$\frac{1}{（{b}_{n+1}-n）^{2}-1}$，设数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=λS_n+1与a_n=λS_n-1+1（n≥2）作差、整理可知a_n+1=（1+λ）a_n，进而可知数列{a_n}为以1为首项、公比为λ+1的等比数列，从而a₃=（λ+1）²，通过a₁、2a₂、a₃+3为等差数列{b_n}的前三项可知λ=1，计算即得结论；
（2）通过b_n=3n-2，裂项可知c_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），
∴当n≥2时，a_n=λS_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=λa_n，即a_n+1=（1+λ）a_n，
又a₁=1，a₂=λa₁+1=λ+1，
∴数列{a_n}为以1为首项、公比为λ+1的等比数列，
∴a₃=（λ+1）²，
又∵a₁、2a₂、a₃+3为等差数列{b_n}的前三项，
∴4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，
整理得（λ-1）²=0，解得λ=1，
∴a_n=2^n-1，
b_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵b_n=3n-2，
∴c_n=$\frac{1}{（{b}_{n+1}-n）^{2}-1}$
=$\frac{1}{[3（n+1）-2-n]^{2}-1}$
=$\frac{1}{（2n+1+1）（2n+1-1）}$
=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．