Question

20．（1）证明函数f（x）=$\sqrt{x+1}$在定义域上是单调增函数；
（2）用定义判断f（x）=1+$\frac{1}{x-2}$在区间（2，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 证明：（1）∵x+1≥0，∴x≥-1，∴函数的定义域是[-1，+∞），
设x₁，x₂∈[-1，+∞），且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}+1}$-$\sqrt{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}+1}+\sqrt{{x}_{2}+1}}$；
∵x₁，x₂∈[-1，+∞），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{{x}_{1}+1}$+$\sqrt{{x}_{2}+1}$＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．
（2）设x₁＞x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}-2}$-$\frac{1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$，
∵x₁-x₂＞2，∴x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₂-x₁＜0，
∴函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程．