Question

5．设非负实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{3x-y≥0}\\{x+3y+m≤0}\end{array}\right.$（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于$\frac{3{m}^{2}}{20}$（用m表示）；若z=2x-y的最大值与最小值之和为19，则实数m=-10．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
当y=0时，x=-m，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=0}\\{x+3y+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{m}{10}}\\{y=-\frac{3m}{10}}\end{array}\right.$，即A（$-\frac{m}{10}$，-$\frac{3m}{10}$），
则三角形OAB的面积S=$\frac{1}{2}×$（-m）（-$\frac{3m}{10}$）=$\frac{3{m}^{2}}{20}$，
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点A（$-\frac{m}{10}$，-$\frac{3m}{10}$）时，直线y=2x-z的截距最大，此时z最小．即最小值z=2×（$-\frac{m}{10}$）-（-$\frac{3m}{10}$）=$\frac{m}{10}$，
当直线y=2x-z经过点B（-m，0）时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大，
即最大值z=-2m，
∵z=2x-y的最大值与最小值之和为19，
∴-2m+$\frac{m}{10}$=19，
即m=-10．
故答案为：$\frac{3{m}^{2}}{20}$，-10．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出相应的交点坐标是解决本题的关键．