Question

（2012•安徽）如图，点F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点，经过F₁做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F₂作直线PF₂垂线交直线x=

a2

c

于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将点P（-c，y₁）（y₁＞0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，可求得P(-c，

b2

a

)，根据点Q的坐标是（4，4），PF₁⊥QF₂，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用PF₁⊥QF₂，求得Q(

a2

c

，2a )，从而可求kPQ=

2a- b2 a

a2+c c

=

c

a

，又y=

b2- b2 a2 x2

，求导函数，可得x=-c时，y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

=

c

a

，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点．

解答：（Ⅰ）解：将点P（-c，y₁）（y₁＞0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得y1=

b2

a

∴P(-c，

b2

a

)
∵点Q的坐标是（4，4），PF₂⊥QF₂
∴

b2 a -0

-c-c

×

4-0

4-c

=-1
∵

a2

c

=4，c2=a2-b2
∴a=2，c=1，b=

3

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：设Q(

a2

c

，y2)，∵PF₂⊥QF₂
∴

b2 a -0

-c-c

×

y2-0

a2 c -c

=-1
∴y₂=2a
∴Q(

a2

c

，2a )
∵P(-c，

b2

a

)，∴kPQ=

2a- b2 a

a2+c2 c

=

c

a

∵

x2

a2

+

y2

b2

=1，∴y=

b2- b2 a2 x2

∴y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

∴当x=-c时，y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

=

c

a

∴直线PQ与椭圆C只有一个交点．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，综合性强．