【题目】某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生（满分150分，且抽取的学生成绩都在
内）的成绩并制成频率分布直方图如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）
（2）用分层抽样的方法从成绩在
和
的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由频率分布直方图的性质，求得
，再利用频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求得这50名同学的数学平均成绩.
（2）由直方图得到从
，
分别抽取4人，2人，利用列举法求得基本事件的总数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
（1）由频率分布直方图的性质，可得
，
解得
则这50名同学的数学平均成绩为：
（2）由直方图知：，两组的频率分别为0.32，0.16.
按分层抽样的方法从成绩不低于125的同学中抽取6名，
则，分别抽取4人，2人，分别记为
，
，
，
，
，
随机抽取2名的总抽法有
；15种，
其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有
；7种
故两名同学数学成绩在同一组的概率为
.
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【题目】给出下列结论：
①若
为真命题，则
、
均为真命题;
②命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”;
③若命题
，
，则
，
；
④“
”是“
”的充分不必要条件.其中正确的结论有____.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利·勃劳卡德（Henri.Brocard）命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角
，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示.
（1）研究发现：等腰直角三角形中
，若
是斜边
的等腰直角三角形，求线段
的长度；
（2）若中，
，
，
，求
的值；
（3）若中，若线段，
，
的长度是1为首项，公比为q（
）的等比数列，当
时，求公比q的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校
位同学的数学与英语成绩如下表所示：
学号 |
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数学成绩 |
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英语成绩 |
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学号 |
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数学成绩 |
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英语成绩 |
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将这位同学的两科成绩绘制成散点图如下：
（1）根据该校以往的经验，数学成绩
与英语成绩
线性相关.已知这名学生的数学平均成绩为
，英语平均成绩为
.考试结束后学校经过调查发现学号为
的
同学与学号为
的
同学（分别对应散点图中的、）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消，取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；
（2）取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩与英语成绩的线性回归方程
，并据此估计本次英语考试学号为的同学如果没有作弊的英语成绩（结果保留整数）.
附：位同学的两科成绩的参考数据：
，
.
参考公式：
，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
，且直线
是其图象的一条对称轴．
（1）求
，
的值；
（2）在图中画出函数
在区间
上的图象；
（3）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移
个单位，得到
的图象，求
单调减区间.
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