Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，设线段AB的中点为M，若2$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MF}$+$\overrightarrow{BF}$²＜0，则该椭圆离心率的取值范围为（$\sqrt{3}$-1，1）．

Answer 1

分析 求得A，B，F点坐标，根据中点坐标公式，代入求得M坐标，$\overrightarrow{MA}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$），$\overrightarrow{BA}$=（-a，-b），则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{MF}$+${\overrightarrow{BF}}^{2}$＜0，根据向量的数量积的坐标运算，利用离心率公式，即可求得椭圆离心率的取值范围．

解答 解：由题意，A（-a，0），B（0，b），F（c，0），则M（-$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
$\overrightarrow{MA}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$），$\overrightarrow{BA}$=（-a，-b），
∵2$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MF}$+$\overrightarrow{BF}$²＜0，
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{MF}$+${\overrightarrow{BF}}^{2}$＜0
∴（-a，-b）（c+$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$）+b²+c²＜0，
∴-ac-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2}$+a²＜0，整理得：c²+2ac-2a²＞0，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，两边同除以a²，
∴e²+2e-2＞0
∴e＜-1-$\sqrt{3}$或e＞$\sqrt{3}$-1，
∵0＜e＜1，
∴$\sqrt{3}$-1＜e＜1，
故答案为：（$\sqrt{3}$-1，1）．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．