Question

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点
（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x²+y²=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）设M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．因为，故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4．因为，（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．由此可导出动点P的轨迹方程为．
解答：解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，
故设椭圆方程为（a＞b＞0）．
设，由准线方程得．
由得，解得a=2，c=，
从而b=1，椭圆方程为．
又易知C，D两点是椭圆的焦点，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
从而|MC|•|MD|，
当且仅当|MC|=|MD|，
即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）如图（20）图，设M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．
因为，
故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4①
因为，
（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）
=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，
所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．②
记P点的坐标为（x_P，y_P），因为P是BQ的中点
所以2x_P=x_Q+x_P，2y_P=y_Q+y_P
由因为x_N²+y_N²=1，结合①，②得

=
==
故动点P的轨迹方程为
点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细求解．