Question

【题目】已知函数

（1）若，求曲线 在点处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的单调性。

Answer 1

【答案】(1) (2) 当时， 在上单调递增；

当时，单调递增区间为；单调递减区间为；

当时，单调递增区间为；单调递减区间为；

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算的值，利用点斜式求出切线方程即可；（2）求出，分三种情况讨论的范围，分别令求得 的范围，可得函数增区间，令求得 的范围，可得函数的减区间.

试题解析：（1）当时，，所以切线的斜率 ，

又在点处的切线方程为，

即。

（2），令，得或，

①当时，恒成立，所以在上单调递增；

②当时，，由，得或；由，得，

所以单调递增区间为；单调递减区间为；

③当时，，由，得或；由，得，

所以单调递增区间为；单调递减区间为；

综上所述，当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，单调递增区间为；单调递减区间为；

当时，单调递增区间为；单调递减区间为；

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.