【题目】平面直角坐标系
中，经过椭圆
： 
的一个焦点的直线
与
相交于
两点， 
为
的中点，且
斜率是
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程；
(Ⅱ)直线
分别与椭圆
和圆
： 
相切于点
，求
的最大值.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)1.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)设出点M,N的坐标，利用点差法计算可得
，结合焦点坐标有
，据此计算可得椭圆
的方程是
；
(Ⅱ)设
分别为直线
与椭圆和圆的切点， 
，联立直线与椭圆的方程有
，利用判别式
，可得
， 
，直线
与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此可得
， 
，则
，结合绝对不等式的结论有当
时， 
的最大值是1.
试题解析：
(Ⅰ)设
， 
，则
， 
， 
， 
，
由此可得
， 
，
又由题意知， 
的右焦点是
，故
，
因此
， 
，所以椭圆
的方程是
；
(Ⅱ)设
分别为直线
与椭圆和圆的切点， 
，
直线
的方程为： 
，代入
得
，判别式
，得
①，
， 
直线
与
相切，所以
，即
，再由①得
， 
，
，
因为
，当
时取等号，所以
，
因此当
时， 
的最大值是1
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】若函数
在
上存在唯一的
满足
, 那么称函数
是
上的“单值函数”.已知函数
是
上的“单值函数”，当实数
取最小值时，函数
在
上恰好有两点零点，则实数
的取值范围是___________．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
, 
.
（1）求函数
的增区间；
（2）若函数
有两个零点，求实数
的取值范围，并说明理由；
（3）设正实数
， 
满足，当
时，求证：对任意的两个正实数
， 
总有
.
(参考求导公式： 
)
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物
（下简称
作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了 500 处 
作物种植点，其生长状况如表：
其中生长指数的含义是：2 代表“生长良好”，1 代表“生长基本良好”，0 代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．
（1）估计该市空气质量差的
作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；
（2）能否有 99%的把握认为“该市
作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市
作物的种植点中，绝收种植点的比例？请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，某生态园将一块三角形地
的一角
开辟为水果园，已知角
为
， 
的长度均大于200米，现在边界
处建围墙，在
处围竹篱笆.
（1）若围墙
、
总长度为200米，如何可使得三角形地块
面积最大？
（2）已知竹篱笆长为
米， 
段围墙高1米， 
段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图
，等腰梯形
中， 
， 
于点
， 
，且
．沿
把
折起到
的位置（如图
），使
．
（I）求证： 
平面
．
（II）求三棱锥
的体积．
（III）线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，请说明理由．
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