【题目】若函数在
上存在唯一的
满足
, 那么称函数
是
上的“单值函数”.已知函数
是
上的“单值函数”,当实数
取最小值时,函数
在
上恰好有两点零点,则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可知,
在区间[0,a]存在唯一的x(0≤x≤a),
满足∵f(x)=x3-x2+m,
∴f′(x)=3x2-2x,
∴方程3x2-2x=a2-a在区间[0,a]有且只有一个解.
令g(x)=3x2-2x-a2+a,(0≤x≤a),
∴△=0或g(0)g(a)≤0,
即为3a2-3a+1=0或(a-a2)(2a2-a)≤0 即a∈或a≥1,
解得a≥1,
当实数a取最小值1时,函数f(x)在[0,1]上恰有两个零点,
即为x3-x2+m=0,即-m=x3-x2,
令h(x)=x3-x2,h′(x)=3x2-2x,
当0<x< 时,h(x)递减,当
<x<1时,h(x)递增,
可得h(x)的最小值为h=-
, h(0)=0,h(1)=0,
则h(x)的最大值为0,则-<-m≤0解得0≤m<
故答案为
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点O,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).
(1)求抛物线C的方程;
设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.
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【题目】【题目】【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】二次函数的图象过原点,对
,恒有
成立,设数列
满足
.
(I)求证:对,恒有
成立;
(II)求函数的表达式;
(III)设数列前
项和为
,求
的值.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数既有一个极小值又有一个极大值,求
的取值范围;
(3)若存在,使得当
时,
的值域是
,求
的取值范围.
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【题目】平面直角坐标系中,经过椭圆
:
的一个焦点的直线
与
相交于
两点,
为
的中点,且
斜率是
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线分别与椭圆
和圆
:
相切于点
,求
的最大值.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,短轴长为
,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点
与
轴不垂直的直线交椭圆于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)当直线的斜率为
时,求
的面积.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得经
,
为领边的平行四边形是菱形?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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