【题目】已知,
.
(1)求函数的增区间;
(2)若函数有两个零点,求实数
的取值范围,并说明理由;
(3)设正实数,
满足,当
时,求证:对任意的两个正实数
,
总有
.
(参考求导公式: )
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)求导,对
进行分类讨论,可得函数
的增区间;
(2)由(1)知:若函数在
的上为增函数,函数
有至多有一个零点,不合题意.若
可知
,要使得函数
有两个零点,则
,以下证明
函数
有两个零点即可;(3)证明:不妨设
,以
为变量令
,
则可以证明 ,所以
在
单调递增;因为
所以
这样就证明了.
试题解析:(1)由已知,令
,
当时,
,函数的增区间
若
令
,
函数的增区间为
综合以上:当时,函数的增区间
;若
增区间为
(2)由(1)知:若函数在
的上为增函数,函数
有至多有一个零点,不合题意。
若 当
,
,函数在
的上为减函数
当
,函数在
的上为增函数
要使得函数有两个零点,则
下证明: 函数
有两个零点
而
,所以
在
存在惟一零点;
又
令
所以
在
上递增,
所以的
所以
在
也存在惟一零点;
综上: 函数
有两个零点
方法2:(先证: 有
)
而
,所以
在
也存在惟一零点;
综上: ,函数
有两个零点。
(3)证明:不妨设,以
为变量
令,
则
令,则
因为,所以
;即
在定义域内递增。
又因为且
所以
即
,所以
;又因为
,所以
所以在
单调递增;因为
所以
即
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数既有一个极小值又有一个极大值,求
的取值范围;
(3)若存在,使得当
时,
的值域是
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】供电部门对某社区位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后,按人均用电量分为
,
,
,
,
五组,整理得到如下的频率分布直方图,则下列说法错误的是( )
A. 11月份人均用电量人数最多的一组有人
B. 11月份人均用电量不低于度的有
人
C. 11月份人均用电量为度
D. 在这位居民中任选
位协助收费,选到的居民用电量在
一组的概率为
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面直角坐标系中,经过椭圆
:
的一个焦点的直线
与
相交于
两点,
为
的中点,且
斜率是
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线分别与椭圆
和圆
:
相切于点
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线的方程为
(
,
为常数).
(1)判断曲线的形状;
(2)设曲线分别与
轴,
轴交于点
,
(
,
不同于原点
),试判断
的面积
是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线:
与曲线
交于不同的两点
,
,且
,求
的值.
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