Question

（文科）数列{ a_n }中，a₁=t，a₂=t²，（t≠1）．x=

t

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明数列[a_n-1-a_n]是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=2（1-

1

an

），当t=2时，数列{bn}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据函数在 x=

t

的导数等于零寻找a_n+1，a_n，a_n-1之间的关系，然后根据等比数列的定义进行证明；在此基础上求出数列a_n+1-a_n的通项公式，按照迭加的方法即可求出a_n．
（2）求出数列{b_n}的前n项和S_n是解决本题的关键，根据已知条件确定出关于n的不等式，通过解不等式求出正整数n的最小值；

解答：解析：（1）f’（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）
由题可知f’（

t

）=0即3a_n-1（

t

）²-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0 （n≥2）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1 ） （n≥2）
∵t＞0且t≠1，a₂-a₁=t（t-1）≠0
∴数列{ a_n+1-a_n }=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ
∴a₂-a₁=（t-1）t，a₃-a₂=（t-1）t²，…a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式两别分别相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+…+t^n-1）
∴a_n=tⁿ（n≥2）
当n=1时成立∴a_n=tⁿ
当n=2时成立∴b_n=2-

1

2n-1

，
∴S_n=2n-（ 1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-

1-\f(1

2n

，1-

1

2

)
=2n-2（ 1-

1

2n

）=2n-2+

2

2n

又S_n+1-S_n=2-

1

2n

＞0，所以数列{S_n}是递增数列
S_n＞2010，得2n-2+2（

1

2

）ⁿ＞2010，n+（

1

2

）ⁿ＞1006
当n≤1005时，n+（

1

2

）ⁿ＜1006
当n≥1006时，n+（

1

2

）ⁿ＞1006
因此当S_n＞2010时，n的最小值为1006．

点评：本题属于函数、数列、不等式的综合问题，首先通过数列与函数的联系，得出数列某些项之间的关系，然后利用数列的知识实现求通项和求前n项和的计算，考查分析法证明不等式的思想和意识．