Question

（文科）数列{a_n}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为S_n，若

1

10

S₁₀和

1

19

S₁₉的等比中项为

1

16

S₁₆．数列{b_n}满足：b_n=a_na_n+1a_n+2．
求：（1）数列{a_n}的通项a_n；（2）数列{b_n}前n项和T_n最大时n的值．

Answer 1

分析：（1）由首项为21，公差为d设出此等差数列的通项公式，以及前n项和公式，进而表示出

1

10

S₁₀，

1

19

S₁₉以及

1

16

S₁₆，由

1

10

S₁₀和

1

19

S₁₉的等比中项为

1

16

S₁₆，根据等比数列的性质列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，代入设出的通项公式即可得到数列{a_n}的通项a_n；
（2）令（1）求出的通项公式大于0，求出n的范围，进而得到n小于10，b_n=a_na_n+1a_n+2大于0，n大于11，b_n=a_na_n+1a_n+2小于0，根据递推公式T_n=T_n-1+b_n，可得当b_n＞0时，T_n＞T_n-1；当b_n＜0时，T_n＜T_n-1，从而得到n小于10，，T_n}递增；当n大于11时，{T_n}递减，同时利用通项a_n，求出b₁₀以及b₁₁的值，即可得到数列{b_n}前n项和T_n最大时n的值．

解答：解：（1）设a_n=21+（n-1）d（d≠0），
则S_n=21n+

n(n-1)

2

d，
∴

1

n

S_n=21+

n-1

2

d，
∴

1

10

S₁₀=21+

9

2

d，

1

19

S₁₉=21+9d，

1

16

S₁₆=21+

15

2

d．
由题设可知：（

1

16

S₁₆）²=（

1

10

S₁₀）•（

1

19

S₁₉），
即（21+

15

2

d）²=（21+

9

2

d）•（ 21+9d），解得d=-2，
∴a_n=21-2（n-1）=23-2n；
（2）由a_n=23-2n＞0，得n＜12．
∴当n＜10时，b_n=a_na_n+1a_n+2＞0；
当n＞11时，b_n=a_na_n+1a_n+2＜0．
而T_n=T_n-1+b_n，
∴当b_n＞0时，T_n＞T_n-1；当b_n＜0时，T_n＜T_n-1．
∴当n＜10时，{T_n}递增；当n＞11时，{T_n}递减．
又b₁₀=a₁₀a₁₁a₁₂=-3，b₁₁=a₁₁a₁₂a₁₃=3，
∴T₉=T₁₁，
∴当n=9或11时，{ T_n}取最大值．

点评：此题考查了等差数列的通项公式，求和公式，等比数列的性质，数列的递推式，以及数列的函数特征，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．