Question

若直线mx+ny-3=0与圆x²+y²=3没有公共点，则m、n满足的关系式为

 

；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆

x2

7

+

y2

3

=1的公共点有

 

个．

Answer 1

分析：（1）根据直线mx+ny-3=0与圆x²+y²=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出m与n的关系式即可；
（2）由（1）得到m与n的绝对值的范围，在根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．

解答：解：（1）将直线mx+ny-3=0变形代入圆方程x²+y²=3，消去x，得
（m²+n²）y²-6ny+9-3m²=0．令△＜0得m²+n²＜3．
又m、n不同时为零，
∴0＜m²+n²＜3．
（2）由0＜m²+n²＜3，可知|n|＜

3

，|m|＜

3

，
再由椭圆方程a=

7

，b=

3

可知公共点有2个．
故答案为0＜m²+n²＜3，2

点评：考查学生综合运用直线和圆方程的能力．以及直线与圆锥曲线的综合运用能力．