Question

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.

Answer 1

AP∶PM=4∶1

方法一 设e₁=,e₂=,
则=+=-3e₂-e₁，
=+=2e₁+e₂.
因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使==-3e₂-e₁，
==2e₁+e₂，∴=-=（+2）e₁+（3+）e₂，
另外=+=2e₁+3e₂，
，∴，
∴=,=,∴AP∶PM=4∶1.
方法二 设=，
∵=（+）=+，
∴=+.
∵B、P、N三点共线，∴-=t(-),
∴=(1+t)-t
∴
∴+=1，=，∴AP∶PM=4∶1.