【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,求证:当
时,
.
【答案】(1)若时,函数
的单调递增区间为
;若
时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出函数的导函数,然后分类讨论,当
时,
的单调增区间为
,当
时,
的单调增区间为
,单调递减区间为
,
;
(2)求出的导函数
,当
时,
在
上单调递增,故而
在
存在唯一的零点
,即
,则当
时,
单调递减,当
时,
单调递增,从而可证得结论.
(1)解:由函数,
.
得,
.
若时,
,函数
的单调递增区间为
;
若,
时,
,函数
单调递增,
若时,
,函数
单调递减,
综上,若时,函数
的单调递增区间为
,
若时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
;
(2)证明:,
.
则
.
当时,
在
上单调递增,
又(1)
,
,
(2)
,
故而在
存在唯一的零点
,即
.
则当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
故而.
又,
,
.
函数的对称轴为
,
因为,所以
,
因为函数开口向下,,
所以,
所以.
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【题目】如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
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【题目】赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响.由
罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队(以下简称“皇马”)将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队(以下简称“巴黎”),激烈对决,一触即发.比赛分上,下两个半场进行,现在有加泰罗尼亚每题测皇马,巴黎的每半场进球数及概率如表:
0 | 1 | 2 | |
巴黎 | |||
皇马 |
(1)按照预测,求巴黎在比赛中至少进两球的概率;
(2)按照预测,若设为皇马总进球数,
为巴黎总进球数,求
和
的分布列,并判断
和
的大小.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧棱
底面
,
,
,
,
分别为棱
,
,
的中点.
(1)求证:;
(2)若,
,求三棱锥
的体积;
(3)判断直线与平面
的位置关系,并说明理由.
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【题目】大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以2,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的,那么在两个判断框中,可以先后填入( )
A. 是偶数?,
? B.
是奇数?,
?
C. 是偶数?,
? D.
是奇数?,
?
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【题目】(2017·深圳二模)在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司为推广线下分店,计划在S市的A区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数,y表示这x个分店的年收入之和.
x(个) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(百万元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(1)该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x,y之间的关系为z=y-0.05x2-1.4,请结合(1)中的线性回归方程,估算该公司应在A区开设多少个分店时,才能使A区平均每个分店的年利润最大?
参考公式:
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【题目】关于f(x)=4sin (x∈R),有下列命题
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写成y=4cos;
③y=f(x)图象关于对称;
④y=f(x)图象关于x=-对称.
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)。
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【题目】(1)已知四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,四边形
为正方形,点
是
的中点,求异面直线
与
所成角的余弦值.
(2)如图,在长方体中,
分别是
的中点,求异面直线
与
所成角的余弦值.
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