Question

8．已知函数f（x）=$\frac{2a+1}{a}-\frac{1}{{{a^2}x}}$，常数a＞0，当0＜m＜n，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，则实数a的取值范围{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 由题意f（x）是增函数，且定义域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），得$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即方程$\frac{2a+1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}m}$=m，有二不等实根，△＞0，解得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{2a+1}{a}-\frac{1}{{{a^2}x}}$，常数a＞0在（0，+∞）上是增函数，且定义域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即；$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a+1}{a}-\frac{1}{{a}^{2}m}=m}\\{\frac{2a+1}{a}-\frac{1}{{a}^{2}n}=n}\end{array}\right.$
由$\frac{2a+1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}m}$=m，得a²m²-a（2a+1）m+1=0；
该一元二次方程有二不等实根，
∴△=a²（2a+1）²-4a²＞0，
即（2a+1）²-4＞0，
∴4a²+4a-3＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$，或a＜-$\frac{3}{2}$（舍去）；
∴a的取值范围是{a|a＞$\frac{1}{2}$}；
故答案为：{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

点评 本题通过函数的定义域和值域的求法，考查了一元二次不等式的解法问题，是易错题．