Question

19．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，解出即可．
（Ⅱ）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．利用导数研究其在区间[-2，2]的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f'（1）=f'（-1）=0，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（Ⅱ）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈[-2，-1）∪（1，2]，则f'（x）＞0，故f（x）在[-2，-1），（1，2）上是增函数，
若x∈（-1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
∴f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值；
又f（2）=2，f（-2）=-2．
∴最大值为2，最小值为-2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．