Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a-sinθ，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}$，cosθ）．
（1）当a=0，且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$时，求sin2θ的值；
（2）当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$时，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行的坐标公式即可，求sin2θ的值；
（2）根据向量垂直的坐标公式即可求cos2θ的值．

解答 解：（1）当a=0，且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$时，
则$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$）-（-sinθ）cosθ=0，
即$-\frac{1}{4}$+sinθcosθ=0，
即sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，
则sin2θ=$\frac{1}{8}$；
（2）当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$时，
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
则（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-sinθ）×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosθ=0．
即sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
平方得1+sin2θ=$\frac{1}{2}$，
即sin2θ=-$\frac{1}{2}$，
则cos2θ=$±\sqrt{1-si{n}^{2}2θ}=±\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查向量平行或向量垂直的坐标公式的计算，熟练掌握相应的坐标公式是解决本题的关键．