Question

14．（1）用二项式定理证明：3²ⁿ-8n-1能被64整除（n∈N^*）；
（2）求2³⁰-3除以7的余数．

Answer 1

分析 （1）把3²ⁿ-8n-1=9ⁿ-8n-1利用二项式定理化为 C${\;}_{n}^{0}$8ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$8^n-1+C${\;}_{n}^{2}$8^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-2}$8²，再根据每一项都是64的倍数，证得结论．
（2）把2³⁰-3利用二项式定理化为7[C${\;}_{10}^{0}$7⁹+C${\;}_{10}^{1}$7⁸+…+C${\;}_{10}^{9}$]-2，可得2³⁰-3除以7的余数．

解答 （1）证明：3²ⁿ-8n-1=9ⁿ-8n-1=（8+1）ⁿ-8n-1=（C${\;}_{n}^{0}$8ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$8^n-1+C${\;}_{n}^{2}$8^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-2}$8²+C${\;}_{n}^{n-1}$8+C${\;}_{n}^{n}$）-8n-1=C${\;}_{n}^{0}$8ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$8^n-1+C${\;}_{n}^{2}$8^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-2}$8²，
由于每一项都是64的倍数，
∴3²ⁿ-8n-1能被64整除．
（2）解：2³⁰-3=（2³）¹⁰-3=8¹⁰-3=（7+1）¹⁰-3=C${\;}_{10}^{0}$7¹⁰+C${\;}_{10}^{1}$7⁹+…+C${\;}_{10}^{9}$7+C${\;}_{10}^{10}$-3=7[C${\;}_{10}^{0}$7⁹+C${\;}_{10}^{1}$7⁸+…+C${\;}_{10}^{9}$]-2．
∴2³⁰-3除以7的余数为-2，即2³⁰-3除以7的余数为 5．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，整除的基本性质，属于基础题．