Question

5．已知点列（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=-$\frac{1}{x+2}$的图象上，a₁=f（0）且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根据以上的结果猜想b_n的表达式，并证明．

Answer 1

分析 （1）运用代入法和点满足函数式，计算即可得到所求值；
（2）猜想b_n=n+1．再由等差数列的定义，作差化简，整理即可得到常数1，即可得证．

解答 解：（1）由题意可得，a₁=f（0）=-$\frac{1}{2}$，
且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，即有b₁=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=2，
（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=-$\frac{1}{x+2}$的图象上，
a_n+1=-$\frac{1}{{a}_{n}+2}$，
a₂=-$\frac{1}{{a}_{1}+2}$=-$\frac{2}{3}$，b₂=$\frac{1}{{a}_{2}+1}$=3，
a₃=-$\frac{3}{4}$，b₃=$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=4，
a₄=-$\frac{4}{5}$，b₄=5；
（2）猜想b_n=n+1．
证明：b_n+1-b_n=$\frac{1}{1+{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$
=$\frac{1}{-\frac{1}{2+{a}_{n}}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=1，
由a₁=-$\frac{1}{2}$，b₁=2，
又{b_n}是以2为首项，1为公差的等差数列；
即有b_n=n+1．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式，同时考查函数与数列的关系，考查运算能力，属于中档题．