Question

10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，由相互独立事件同时发生的概率求出结果；
（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的，互斥事件概率加法公式求出它的概率；
（3）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3，结合前两问分别求出相应的概率，写出分布列即可．

解答 解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，且P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$
∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$；
（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，且P（C）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，P（D）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=$\frac{4}{15}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{7}{15}$，
（3）ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（1）、（2）得，P（ξ=0）=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{7}{15}$，
∵P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{30}$，∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{3}{10}$，
则ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

点评 本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力．