Question

9．已知函数f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，其中a为常数
（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若h（x）=f（x）-x-$\frac{1}{x}$＞0在[1，2]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，求得f（-x），对a讨论，当a=0时，当a≠0时，由奇偶性的定义，即可判断；
（2）运用参数分离，求得右边函数的最大值，由恒成立思想，即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，
$f（-x）=a{（-x）^2}+\frac{1}{-x}=a{x^2}-\frac{1}{x}$，
当a=0时，f（-x）=-f（x）为奇函数；
当a≠0时，由f（1）=a+1，f（-1）=a-1，
知f（-1）≠-f（1），
故f（x）即不是奇函数也不是偶函数．
（2）由题意可得h（x）=ax²-x＞0在[1，2]上恒成立，
即a＞（$\frac{1}{x}$）_max，
由y=$\frac{1}{x}$在[1，2]递减，可得（$\frac{1}{x}$）_max=1，
即有a＞1．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义和分类讨论的思想方法，同时考查不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，属于中档题．