Question

20．若{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$及题意，可得公比和首项，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知a_na_n+1=$（\frac{1}{2}）^{2n-5}$，进而可得数列{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）根据题意可得q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=4，
∴数列{a_n}的通项为：a_n=4•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_na_n+1=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$•$（\frac{1}{2}）^{n-2}$=$（\frac{1}{2}）^{2n-5}$，
又∵a₁a₂=$（\frac{1}{2}）^{2-5}$=8，
∴数列{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=8•$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

点评 本题考查求等比数列的通项及求和，注意解题方法的积累，属于中档题．