Question

12．已知等比数列{a_n}满足：a₂=4，公比q=2，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{2}{3}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设P_n=$\frac{a_n}{S_n}（n∈{N^*}）$，证明：p₁+p₂+p₃+…+p_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据a₂=4，公比q=2，确定出等比数列{a_n}的通项，把{a_n}通项代入已知等式表示出S_n，由n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，确定出数列{b_n}的通项即可；
（2）把a_n与S_n代入已知等式变形，整理后利用不等式的放缩即可得证．

解答 解：（1）由a₂=4，公比q=2，得，a_n=a₂•2^n-2=2ⁿ，
代入S_n=$\frac{4}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{2}{3}$得：S_n=$\frac{4}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1），
则当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}$bⁿ-$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）-$\frac{4}{3}$b_n-1+$\frac{2}{3}$（2^n-1-1），
整理得：b_n+2ⁿ=4（b_n-1+2^n-1），
∵b₁=S₁=$\frac{4}{3}$b₂-$\frac{2}{3}$，∴b₁=2，
∴数列{b_n+2ⁿ}是首项为b₁+2=4，公比为4的等比数列，
∴b_n+2ⁿ=4×4^n-1=4ⁿ，
∴b_n=4ⁿ-2ⁿ；
（2）由b_n=4ⁿ-2ⁿ，得S_n=$\frac{4}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-2ⁿ）-$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）=$\frac{2}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1），
∴P_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{\frac{2}{3}（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n}-1）}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴$\sum_{i=1}^{n}$p_i=p₁+p₂+p₃+…+p_n=$\frac{3}{2}$[（1-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）]=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了数列的求和，等比数列的性质，以及数列的递推式，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．