Question

1．已知向量$\overrightarrow a=（cos\frac{3x}{2}，\;\;sin\frac{3x}{2}）$，$\overrightarrow b=（cos\frac{x}{2}，\;\;-sin\frac{x}{2}）$，其中x∈R．
（1）当$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$时，求x值的集合；　　
（2）当$\overrightarrow a∥$$\overrightarrow b$时，求x值的集合．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，由三角函数中的恒等变换应用可得cos2x=0，由余弦函数的性质即可求得x值的集合；
（2）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，得$cos\frac{x}{2}sin\frac{3x}{2}+sin\frac{x}{2}cos\frac{3x}{2}=0$，由三角函数中的恒等变换应用可得sin2x=0，由正弦函数的性质即可求得x值的集合．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即$cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}=0$．…（4分）
则cos2x=0，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈{Z}）$． …（5分）
∴$\left\{{x|x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z}\right\}$为所求． …（6分）
（2）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，得$cos\frac{x}{2}sin\frac{3x}{2}+sin\frac{x}{2}cos\frac{3x}{2}=0$…（10分）
则sin2x=0，得$x=\frac{kπ}{2}（k∈{Z}）$．…（11分）
∴$\left\{{x|x=\frac{kπ}{2}，k∈Z}\right\}$为所求．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量共线（平行）的坐标表示，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．